Поиск по сайту:


«Учебник по дискретной математике. Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания»

Файл: 4 КБ
Поделиться:

2. Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания

Особая роль двух функций (из этих трех) определяется тем обстоятельством, что определение этих функций легко может быть перенесено на любое число переменных:

Конъюнкцией n переменных f (x1, x2, …, xn) = x1 x2…xназывается функция, которая принимает значение 1, если и только если все переменные равны 1 (и, значит, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0).

Дизъюнкцией n переменных f (x1x2, …, xn) = x1Ú x2Ú … Ú xn называется такая функция, которая равна 0 если и только если все переменные равны 0 (и, значит, равна 1 тогда и только тогда, когда хотя бы одна переменная равна 1).

Из этих определений видно, что конъюнкция и дизъюнкция коммутативны, т. е. обе функции не зависят от порядка переменных.

Будем обозначать через  (x1x2… xn) новую функцию, которая на наборе переменных x1x2, …, xn принимает значение, противоположное f(x1x2, …, xn).

Заметим, что в перечисленных далее свойствах в роли x, y, z может выступать любая логическая функция. Все свойства легко могут быть доказаны из приведенных выше определений этих функций.

1. Универсальные границы:

xЪ1 = 1; xЪ 0 = хх1 = хх0 = 0.

2. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции:

x(yz) = (xy)zxЪ (yЪ z) = (Ъy)Ъ z.

Это свойство означает, что в конъюнкции или дизъюнкции нескольких переменных можно как угодно расставлять скобки (а значит, можно вообще их не ставить).

3. Поглощение (“целое поглощает часть”):

хЪ ху = х(1Ъ у) = х.

4. Два распределительных закона:

х (yЪ z) = x y Ъ x zхЪ (y z) = (xЪ y)(xЪ z),

оба свойства могут быть доказаны простым рассуждением (например, если х = 0, тогда по свойству 1 справа выражение равно 0 и слева тоже 0, если х = 1, то справа стоит yЪ z и слева будет то же самое).

5. Правила де Моргана:

оба эти правила обобщаются на любое число переменных:

6. Правило Блейка:

Пусть Ки К какие-то логические функции, тогда

что легко доказывается справа налево:

Следствием правила Блейка являются два правила обобщенного поглощения:

Заметим, что правила Блейка и следствия из него часто используются для упрощения дизъюнкции (см. разд. 5)

Замечание. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание были определены для объектов, принимающих лишь два значения 0 и 1. Однако бывают случаи, когда можно ввести такие операции для некоторых других объектов (эти операции также называют иногда конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием), для которых также выполнены свойства 1–6. В этом случае говорят, что на этих объектах введена булева алгебра.

Напримерпусть W – некоторое множество точек (или элементарных событий в теории вероятности), В – множество подмножеств из W . Если AB принадлежат В , то можно ввести сумму множеств (дизъюнкцию) A+B = AЪ B (равную объединению точек изА и В), произведение множеств (конъюнкцию) АВ = АЩ В (равное набору точек, входящих и в А, и в B одновременно) и дополнение (отрицание А), т. е. – множество точек из W , не входящих в А. Тогда для этих операций (и это легко проверить) будут выполнены свойства 1–6. Таким образом, множество всех подмножеств из W является булевой алгеброй.