Курсовая работа «Курсовой по дисциплине "Вычислительная математика"»

Решение: Рассмотрим треугольники ABC и AFG, они являются подобными (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, выполняются  следующие соотношения:

Интегрирование. Вычислить интеграл по формулам трапеции и Симпсона с точность (1/2)*10^-3:  .

Вычисление интеграла по формуле трапеций.

         Суть метода в следующем. Разобьём отрезок [a, b] на n равных частей длины h = (b-a)/n точками x_i = a + ih (I = 0, 1, …, n), x₀ = a, x_n = b. Искомый интеграл равен сумме интегралов. На каждом элементарном отрезке [x_i-1; x_i] заменим подынтегральную функцию линейно функцией вида

y = A(x – x_i-1) + B(x – x_i),  xÎ[x_i-1; x_i] (i=1,2,…,n).

Она в граничных точках x_i-1, x_i принимает те же значения, что и функция f(x). Её график является ломаной линией, начальная, угловые и конечная точки которой принадлежат также графику подынтегральной функции f(x). С увеличение n число общих точек будет расти, а в результате ломаная станет всё больше приближаться к кривой y=f(x).

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

;

Погрешность данного метода составляет:

Вычисление интеграла по формуле Симпсона.

         Суть метода. Разобьем отрезок [a, b] на чётное число n = 2m равных частей длины h = (b-a)/(2m). Границы элементарных отрезков сузить x₀ = a, x₁, x₂, …, x_2m = b, так что x₁ = x₀+h, x₂ = x₁ + h = x₀ + 2h, …, x_2m = x_2m-1 + h = x₀ + 2mh. Кривую y = f(x) на отрезке [x_2i-2; x_2i] длины 2р аппроксимируем параболой

y = A(x – x_2i-2)(x – x_2i-1) + B(x – x_2i-2)(x – x_2i) + C(x – x_2i-1)(x – x_2i),     (5)

таким образом, площадь под кривой приближённо заменим площадью под этой параболой.

Найдем коэффициенты A, B и C. Для этого в формуле (5) последовательно положим x = x_2i = x_2i-2 + 2h, x = x_2i-1 = x_2i-2 + h и x = x_2i-2. Получим соответственно

Метод наименьших квадратов

Для функции cos(px) на отрезке [-1,1] найти среди многочленов третьей степени тот многочлен, который дает наилучшее приближение по методу наименьших квадратов, если использовать значения функции в точках:

x₀ = -1; x₁ = -0.5; x₂ = 0; x₃ = 0.5; x₄ = 1.

Решить систему уравнений Ax=b методом Гаусса.

Применим простейший вариант метода Гаусса – схему единственного деления. Следуя Гауссу, сначала преобразуем квадратную матрицу коэффициентов при неизвестных к верхней треугольной матрице, из которой затем найдем решение системы.

Схема единственного деления состоит в следующем. Вначале исколючим неизвестное x₁ из всех уравнений системы, кроме первого. Разделив первое уравнение на коэффициент а₁₁ при x₁. Далее, вычитая полученное уравнение, соответственное на a₂₁, a₃₁, a₄₁ из (2) (3) и (4) уравнений, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

На следующем шаге проделываем аналогичные преобразования. Исключив теперь x₂. Объединяя полученные уравнения, придем к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов.

Текст программы на MatLAB для решения данной системы уравнений:

Решение системы уравнений методом Зейделя:

Ax = b;

                   , ;

;

Критерий окончания итераций:

;

e  - заданная точность.